June 30, 2021524 words

2道几何题

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我分享两道几何题

2019 年 B 卷二试第三题

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这道题标准答案给我感觉就是很奇怪,整个答案莫名其妙的。四点共圆证明角相等是常规解法,但突然就直接把两个角换到了已知等腰三角形的两个底角,而且还是熟知的反相似,实在不明白怎么想到的。

我觉得这道题一点思路都没有,用三角算不了,主要角平分线来得太别扭,怎么做都很难做到。这道题一共就三个自由度,因此只需要设两个角就行了,但两个角远远不够。

主要是线段太少,由于 cp 与 ae 垂直,我用建立直角坐标系的方法算。

在计算证明中,千万不要出现根号,否则次数会陡然上升,完全失去控制。

我把角平分线的条件转化为阿波罗尼斯圆,因为 abcde 定好以后,其实 k,l 轨迹就是一个圆,这是阿氏圆常用性质。然后通过转化为角相等,将已知条件变成一个等式,即 ∠pbd=∠pdb,结论用正切两角和去做,这样就能一推一了。

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这样证明其实不难,因为证明过程中我知道肯定能算出来。

附原解答

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2019CMO 第二题

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这道题转化结论异常困难,几乎没有办法做,只有线段上成比例的方法。全题只涉及算,没有五心的东西。其实就是慢慢消点。

但只有一个基本结论,就是 qrbc 共圆如果没有这一引理就算不出来。这是我第一次硬算的结果。

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费了九牛二虎之力,勉强化为角的关系,仍然做不出来。

有了这个结论,就很轻松了。

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附一份数学新星网解答

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